七年级数学知识归纳:三角形

【中考辅导】 2019-04-23本文已影响

 一.知识框架

三角形 1.png                        
 
二.知识概念
 
1.三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
3.高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形内角和定理:n边形的内角的和等于: (n - 2)×180°,则正多边形各内角度数为: (n - 2)×180°÷n
多边形内角和定理证明 
  证法一:在n边形内任取一点O,连结O与各个顶点,把n边形分成n个三角形. 
  因为这n个三角形的内角的和等于n·180°,以O为公共顶点的n个角的和是360° 
  所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180°. 
  即n边形的内角和等于(n-2)×180°. 
  证法二:连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段,把n边形分成(n-2)个三角形. 
  因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180° 
  所以n边形的内角和是(n-2)×180°. 
  证法三:在n边形的任意一边上任取一点P,连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形, 
  这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180° 
  以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180° 
  所以n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°.
已知正多边形内角度数则其边数为:360÷(180-内角度数)
8.多边形的外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
外角和=N*180-(N-2)*180=360度。   
注:在不考虑角度方向的情况下,以上所述的N边形,仅为任意‘凸’多边形。当考虑角度方向的时候,上面的论述也适合凹多边形。
 
9.多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
10.正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。
镶嵌的一个关键点是:在每个公共顶点处,各角的和是360°.
 1.全等的任意三角形能镶嵌平面 
  把一些纸整齐地叠放好,用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形.用这些全等的三角形可镶嵌平面.这是因为三角形的内角和是180°,用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面.如图1.用全等的三角形镶嵌平面,镶嵌的方法不止一种,如图2. 
三角形 2.png
  2.全等的任意四边形能镶嵌平面。 
  仿上面的方法可剪出多个全等的四边形,用它们可镶嵌平面.这是因为四边形的内角和是360°,用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面.如图3.其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌.如图4. 
3.全等的特殊五边形可镶嵌平面 
  圣地亚歌一位家庭妇女,五个孩子的母亲玛乔里·赖斯,对平面镶嵌有很深的研究,尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论.1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面,可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面,在图5的五边形ABCDE中,∠B=∠E=90°,2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°,a=e,a+e=d.图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法.用五边形镶嵌平面,是否只有13类,还有待研究. 
   
三角形 3.png
4.全等的特殊六边形可镶嵌平面 
  1918年,莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面.图7是其中之一.在图7的六边形ABCDEF中,∠A+∠B+∠C=360°,a=d. 
  5.七边形或多于七边的凸多边形,不能镶嵌平面. 
  只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面,用其它正多边形不能镶嵌平面. 
  例如:用正三角形和正六形的组合进行镶嵌.设在一个顶点周围有m个正三角形的角,有n个正六边形的角.由于正三角形的每个角是60°,正六边形的每个角是120°.所以有 
  m·60°+n·120°=360°,即m+2n=6. 
  这个方程的正整数解 
三角形 4.png
可见用正三角形和正六边形镶嵌,有两种类型,一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形,另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形.
 
12.公式与性质
三角形的内角和:三角形的内角和为180°
三角形外角的性质:
性质1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式:n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角和:多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数:(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形,在学习过程中,教师应该多鼓励学生动脑动手,发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
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